I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
📐 Định nghĩa sin, cos, tan, cot
Với góc nhọn \(\alpha\) trong tam giác vuông:
Từ đó suy ra:
🎯 Bảng giá trị lượng giác đặc biệt
Bảng bắt buộc phải thuộc lòng:
| \(\alpha\) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | 1 |
| cos | 1 | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | 0 |
| tan | 0 | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | 1 | \(\sqrt3\) | KXĐ |
| cot | KXĐ | \(\sqrt3\) | 1 | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | 0 |
➕ Dấu của giá trị lượng giác trên \([0°;180°]\)
| Góc \(\alpha\) | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|
| \(0°<\alpha<90°\) | + | + | + | + |
| \(\alpha=90°\) | + | 0 | KXĐ | 0 |
| \(90°<\alpha<180°\) | + | − | − | − |
Nói cách khác: trên cả khoảng \([0°;180°]\), sin luôn không âm; chỉ có cos đổi dấu khi qua 90°.
🔄 Công thức góc bù nhau \((180°-\alpha)\)
Với \(0°<\alpha<180°\):
Ví dụ: vì \(120°=180°-60°\) nên \(\sin120°=\sin60°=\frac{\sqrt3}{2}\), còn \(\cos120°=-\cos60°=-\frac12\).
🧮 Hệ thức lượng giác cơ bản
Từ đó, nếu biết \(\sin\alpha\) thì \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) — nhưng phải xét dấu theo khoảng của \(\alpha\)!
⚠️ Lỗi thường gặp
- ❌ Quên rằng \(\tan90°\) không xác định (vì \(\cos90°=0\)).
- ❌ Quên rằng \(\cot0°,\cot180°\) không xác định (vì \(\sin=0\)).
- ❌ Tính \(\cos\alpha=\pm\frac45\) rồi quên xét dấu theo khoảng của góc — lỗi hay gặp nhất.
- ❌ Bấm máy tính sai chế độ: góc cho bằng độ thì máy phải để DEG, không phải RAD.
II. Hệ thức lượng trong tam giác
📏 Quy ước ký hiệu — thuộc trước khi học công thức
Trong tam giác \(ABC\):
Cạnh nào đối diện góc nào thì mang chữ tương ứng: \(a\leftrightarrow A\), \(b\leftrightarrow B\), \(c\leftrightarrow C\).
📐 Định lí Côsin
Tương tự: \(b^2=c^2+a^2-2ca\cos B\); \(\;c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\).
Đây là bản mở rộng của định lí Pythagore: nếu \(A=90°\) thì \(\cos A=0\) nên \(a^2=b^2+c^2\).
📈 Định lí Sin
\(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Suy ra \(a=2R\sin A\), tương tự cho \(b,c\).
🔺 Diện tích tam giác
Cách nhớ: "hai cạnh × sin góc xen giữa × một phần hai". Ngoài ra còn có: \(S=\dfrac{abc}{4R}\) — rất hữu ích khi cần tìm \(R\): \(R=\dfrac{abc}{4S}\).
🏛️ Công thức Heron
Đặt nửa chu vi \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\). Khi đó:
Ưu điểm vượt trội: tính được diện tích chỉ từ 3 cạnh, không cần biết đường cao hay góc.
Từ \(S=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{60\cdot56\cdot52}{4\cdot1344}=32{,}5\)
📐 Công thức đường trung tuyến
(tương tự cho \(m_b\) và \(m_c\), đổi vai trò cạnh). Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm \(G\), với \(AG=\frac23 m_a\).
⚠️ Lỗi thường gặp
- ❌ Nhầm cạnh đối diện: quên mất \(a=BC,\;b=CA,\;c=AB\).
- ❌ Đề cho 2 cạnh + góc xen giữa nhưng lại dùng Sin ngay — phải dùng Côsin trước.
- ❌ Quên bình phương: viết nhầm \(a=b+c-2bc\cos A\) thay vì \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\).
- ❌ Tính xong \(p(p-a)(p-b)(p-c)\) rồi quên khai căn ở bước cuối.
- ❌ Không kiểm tra bất đẳng thức tam giác (\(a+b>c\)) trước khi dùng Heron — ví dụ bộ cạnh (3, 55, 6) không tạo thành tam giác vì \(3+6<55\).
III. Giải tam giác
🧭 "Giải tam giác" nghĩa là gì?
Không chỉ tìm một cạnh — giải tam giác nghĩa là xác định tất cả yếu tố còn thiếu: các cạnh, các góc, diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp.
🗺️ Bảng nhận dạng — chọn đúng công thức
| Dữ kiện đề bài | Công thức dùng |
|---|---|
| Biết 3 cạnh → tìm góc | Côsin |
| 2 cạnh + góc xen giữa → tìm cạnh còn lại | Côsin |
| 1 cạnh + 2 góc → tìm 2 cạnh còn lại | Sin |
| Biết một cặp cạnh–góc đối diện | Sin |
1️⃣ Dạng: Biết 3 cạnh
Ví dụ: \(a=5,\;b=6,\;c=7\). Tìm \(A\).
Dùng Côsin: \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{36+49-25}{2\cdot6\cdot7}=\dfrac{60}{84}=\dfrac57\Rightarrow A=\arccos\dfrac57\).
Sau đó dùng \(A+B+C=180°\) để tìm góc còn lại (rồi lặp lại Côsin hoặc dùng Sin cho góc kia).
2️⃣ Dạng: Biết 2 cạnh và góc xen giữa
Ví dụ: \(b=5,\;c=7,\;A=60°\). Tìm \(a\).
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\frac12=39\Rightarrow a=\sqrt{39}\).
3️⃣ Dạng: Biết 1 cạnh và 2 góc
Ví dụ: \(A=40°,\;B=60°,\;a=8\).
Bước 1 — tìm góc còn lại: \(C=180°-40°-60°=80°\).
Bước 2 — dùng định lí Sin: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\Rightarrow b=\dfrac{8\sin60°}{\sin40°},\;\;c=\dfrac{8\sin80°}{\sin40°}\).
📐 Tính diện tích và bán kính ngoại tiếp R
| Biết | Dùng công thức |
|---|---|
| 2 cạnh + góc xen giữa | \(S=\frac12 bc\sin A\) |
| 3 cạnh | Heron: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) |
| 3 cạnh và biết \(R\) | \(S=\dfrac{abc}{4R}\) |
| Biết \(a,A\), tìm \(R\) | \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\) |
| Biết \(a,b,c,S\), tìm \(R\) | \(R=\dfrac{abc}{4S}\) |
⚠️ Lỗi thường gặp
- ❌ Dùng nhầm Sin cho bài "2 cạnh + góc xen giữa" (phải là Côsin).
- ❌ Quên kiểm tra lại \(A+B+C=180°\) sau khi tính — đây là cách tự đối soát kết quả.
- ❌ Quên điều kiện độ dài cạnh phải dương (loại nghiệm âm khi giải phương trình).
- ❌ Bấm máy tính sai chế độ DEG/RAD khi góc cho bằng độ.
🧠 6 công thức "xương sống" của cả chương
Bổ sung thêm: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) và \(S=\dfrac{abc}{4R}\) khi cần.
Trắc nghiệm tổng hợp Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác
25 câu gộp từ các chuyên đề của chương — lọc theo bài hoặc mức độ, xem đáp án và giải thích ngay sau mỗi câu. Không tính điểm gửi lên hệ thống, làm lại thoải mái.
🗺️ Bức tranh toàn cảnh Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác
Tổng kết lại cả chương trong một hình — bấm vào ảnh để xem bản đầy đủ, rõ nét.
