🧭 Phạm vi của Bài 3
- Nhận dạng dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Kiểm tra một cặp số có là nghiệm hay không.
- Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
- Chưa học hệ bất phương trình và chưa đi vào bài toán tối ưu — đó là nội dung của Bài 4 và phần Ôn tập.
📌 Định nghĩa
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát:
- Trong đó a, b, c là các số thực, a và b không đồng thời bằng 0.
- x, y là các ẩn số.
✅ Nghiệm của bất phương trình
- Nghiệm của bất phương trình là cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn bất đẳng thức.
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Ví dụ: Với bất phương trình 5x + 2y < 4:
- (-1; -2) là nghiệm vì 5·(-1) + 2·(-2) = -9 < 4.
- (0; 0) là nghiệm vì 5·0 + 2·0 = 0 < 4.
🧮 Các bước biểu diễn miền nghiệm
- Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ.
- Bước 2: Lấy một điểm M(x₀; y₀) không thuộc d (thường là O(0;0) nếu c ≠ 0).
- Bước 3: Tính ax₀ + by₀ và so sánh với c.
- Bước 4: Nếu M thỏa mãn thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa M; nếu không thì là nửa mặt phẳng còn lại.
- Bước 5: Xét dấu biên: ≤, ≥ lấy bờ (nét liền); <, > không lấy bờ (nét đứt).
⚠️ Lỗi thường gặp
- ❌ Nhầm dấu bất phương trình: Khi nhân/chia với số âm, phải đổi chiều bất đẳng thức.
- ❌ Quên kiểm tra bờ: ≤, ≥ thì bờ thuộc miền nghiệm; <, > thì bờ không thuộc.
- ❌ Chọn điểm thử sai: Nếu chọn điểm thuộc đường thẳng d thì không thể xác định được miền.
- ❌ Nhầm lẫn nghiệm và miền nghiệm: Nghiệm là cặp số, miền nghiệm là tập hợp các điểm trên mặt phẳng.
🎯 Mục tiêu bài học
- Hiểu hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của hệ.
- Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình rồi xác định phần giao.
- Nhận biết miền nghiệm có thể bị chặn, không bị chặn hoặc rỗng.
- Vận dụng hệ bất phương trình để mô hình hóa các ràng buộc trong thực tế.
📌 Hệ bất phương trình là gì?
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn cùng xét trên hai ẩn x, y.
Nghiệm của hệ là một cặp (x₀; y₀) đồng thời thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
🗺️ Miền nghiệm = phần giao
Mỗi bất phương trình xác định một nửa mặt phẳng. Khi xét cả hệ, ta lấy phần chung của tất cả các nửa mặt phẳng đó.
📐 Quy trình biểu diễn miền nghiệm
- Với mỗi bất phương trình, vẽ đường thẳng biên bằng cách thay dấu bất đẳng thức bởi dấu =.
- Xác định nửa mặt phẳng nghiệm bằng một điểm thử (thường chọn O(0;0) nếu không nằm trên đường biên).
- Dùng nét liền cho ≤, ≥; dùng nét đứt cho <, >.
- Lặp lại với các bất phương trình còn lại.
- Lấy phần giao của các miền đã xác định.
🧩 Khi nào miền nghiệm rỗng?
Nếu không tồn tại điểm nào thỏa mãn đồng thời tất cả các điều kiện thì hệ vô nghiệm, miền nghiệm là ∅.
🏪 Mô hình hóa thực tế
Trong bài toán thực tế, mỗi bất phương trình thường biểu diễn một ràng buộc: vốn, thời gian, nguyên liệu, số lượng...
- x, y: các đại lượng cần quyết định.
- Ràng buộc: các bất phương trình.
- Điều kiện thực tế thường có x ≥ 0, y ≥ 0.
⚠️ Lỗi thường gặp
- ❌ Lấy hợp thay vì giao các miền nghiệm.
- ❌ Quên kiểm tra dấu ≤, ≥ để quyết định có lấy đường biên hay không.
- ❌ Chọn điểm thử nằm ngay trên đường biên.
- ❌ Tự thêm điều kiện x≥0, y≥0 khi đề bài không yêu cầu.
- ❌ Cho rằng miền nghiệm của mọi hệ đều là một đa giác bị chặn.
🗺️ Bức tranh toàn cảnh
ax + by ≥ c
(<, >, ≤, ≥)
Nhiều ràng buộc
Miền = giao các miền
Vùng khả thi
Thường là đa giác
MAX / MIN
Đạt tại một đỉnh
📌 Khái niệm cốt lõi
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by ≤ c (hoặc <, >, ≥).
- Nghiệm: Cặp (x₀; y₀) làm bất đẳng thức đúng.
- Miền nghiệm: Tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn.
- Hệ bất phương trình: Nhiều ràng buộc cùng lúc.
- Giao các miền: Phần chung của các vùng đất.
- Hàm mục tiêu: F(x,y) = ax + by cần tối ưu.
- Tối ưu tại đỉnh: Giá trị max/min đạt tại một góc của đa giác.
🏔️ Bài toán tối ưu — quy trình 3 bước
- Xác định các đỉnh của miền nghiệm (miền đa giác).
- Tính giá trị hàm mục tiêu F(x,y) = ax + by tại từng đỉnh.
- So sánh và chọn: giá trị lớn nhất (MAX) hoặc nhỏ nhất (MIN) đạt tại một trong các đỉnh.
📊 Bảng tra cứu nhanh
| Thuật ngữ | Ký hiệu | Ý nghĩa đơn giản |
|---|---|---|
| Bất phương trình | ax+by≥c | Một "quy tắc" ràng buộc giữa x và y |
| Nghiệm | (x₀;y₀) | Cặp số làm bất đẳng thức đúng |
| Miền nghiệm | – | Tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn |
| Hệ bất phương trình | { ... } | Nhiều ràng buộc cùng lúc |
| Giao các miền | ∩ | Phần chung của các vùng đất |
| Hàm mục tiêu | F(x;y)=ax+by | Đại lượng cần tối ưu |
| Tối ưu tại đỉnh | – | Giá trị max/min tại góc của đa giác |
🌍 Ứng dụng thực tế
Chương này là "công cụ ra quyết định thông minh" cho các bài toán đời thường!
🏪 Kinh doanh điều hòa
Biến: x: máy 2 chiều, y: máy 1 chiều
Ràng buộc: Vốn, nhu cầu thị trường
Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận
🥩 Chế độ dinh dưỡng
Biến: x: kg thịt bò, y: kg thịt lợn
Ràng buộc: Protein, lipid, khối lượng tối đa
Mục tiêu: Tối thiểu chi phí
📺 Quảng cáo
Biến: x: giây radio, y: giây TV
Ràng buộc: Ngân sách, thời lượng
Mục tiêu: Tối đa hiệu quả tiếp cận
💰 Đầu tư trái phiếu
Biến: x: tiền đầu tư loại A, y: loại B
Ràng buộc: Rủi ro, tỷ lệ an toàn
Mục tiêu: Tối đa lợi nhuận
🚗 Thuê xe
Biến: x: km ngày thường, y: km cuối tuần
Ràng buộc: Ngân sách
Mục tiêu: Chi phí hợp lý
🎯 5 bí kíp chinh phục Chương 2
- 🎨 Vẽ hình là trên hết — Miền nghiệm là hình học, hãy nhìn thấy nó!
- 🧪 Chọn điểm thử thông minh — Luôn chọn O(0;0) nếu có thể để tính nhanh.
- 🔗 Hệ = Giao — Miền nghiệm là phần chung, vẽ từng cái rồi lấy trùng.
- 🏔️ Đỉnh là chìa khóa — Khi tối ưu, chỉ cần xét các đỉnh của đa giác.
- 📐 Cẩn thận dấu biên — ≤, ≥ là nét liền; <, > là nét đứt.
Trắc nghiệm tổng hợp Chương 2
75 câu gộp từ Bài 3, Bài 4 và bài Ôn tập — lọc theo bài hoặc mức độ, xem đáp án và giải thích ngay sau mỗi câu. Không tính điểm gửi lên hệ thống, làm lại thoải mái.
🗺️ Bức tranh toàn cảnh Chương 2
Tổng kết lại cả chương trong một hình — bấm vào ảnh để xem bản đầy đủ, rõ nét.
🔍 Bấm để xem full