📘 Học Phổ Thông Online
🏠 Trang chủ › Trung học Phổ thông › 📐 Toán 10 › Chương 4: Vectơ

📐 Toán 10 — Chương 4: Vectơ

Lý thuyết tổng hợp từ các chuyên đề của chương. Bấm tab Trắc nghiệm để luyện gộp cả 150 câu của chương, hoặc xem chi tiết từng bài (có thêm tự luận + trắc nghiệm riêng) trong mục Chuyên đề ở trang chủ.

📐
Toán 10
Chương 4: Vectơ
📖 Trích từ chuyên đề Bài 7: Các khái niệm mở đầu

🧭 1. Khái niệm vectơ

  • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, trong đó xác định rõ điểm đầu và điểm cuối.
  • Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu \(\vec{AB}\).
  • Khi không cần chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối, dùng các chữ thường: \(\vec a, \vec b, \vec u...\)
  • Khi vẽ vectơ, mũi tên đặt ở điểm cuối.

📏 2. Độ dài vectơ

  • Độ dài của \(\vec{AB}\) chính là độ dài đoạn thẳng AB.
  • Kí hiệu: \(|\vec{AB}| = AB\).
  • Luôn có \(|\vec a| \ge 0\).
  • \(|\vec a| = 0\) khi và chỉ khi \(\vec a = \vec 0\).

🔄 3. Cùng phương – cùng hướng

  • Cùng phương: giá của hai vectơ song song hoặc trùng nhau.
  • Cùng hướng: cùng phương và cùng chiều.
  • Ngược hướng: cùng phương nhưng ngược chiều.
  • Hai vectơ cùng phương chưa chắc cùng hướng.
CÙNG PHƯƠNG → CÙNG HƯỚNG hoặc NGƯỢC HƯỚNG

⚖️ 4. Hai vectơ bằng nhau

  • \vec a = \vec b khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
  • Hai vectơ bằng nhau có thể đặt ở những vị trí khác nhau.
  • Ví dụ, trong hình bình hành ABCD:
\vec{AB} = \vec{DC}
\vec{AD} = \vec{BC}

⭕ 5. Vectơ-không

  • Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không.
  • Kí hiệu: \(\vec 0\); ví dụ \(\vec{AA}=\vec 0\).
  • \(|\vec 0|=0\).
  • Theo quy ước, \(\vec 0\) cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

📌 6. Nhận biết nhanh

  • AB và BA là hai đoạn thẳng có cùng độ dài, còn \(\vec{AB}\) và \(\vec{BA}\) ngược hướng.
  • Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) cùng phương.
  • Muốn kiểm tra hai vectơ bằng nhau: so hướng trước, so độ dài sau.
📖 Trích từ chuyên đề Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

📌 Quy tắc ba điểm

  • Với ba điểm A, B, C bất kỳ: \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).
  • Cách nhớ: nối tiếp – điểm cuối của vectơ thứ nhất là điểm đầu của vectơ thứ hai.
  • Ứng dụng: tính tổng các vectơ liên tiếp.
A → B → C → \(AC\)

📐 Quy tắc hình bình hành

  • Nếu ABCD là hình bình hành: \(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\).
  • Dùng khi hai vectơ chung điểm đầu.
  • Đường chéo xuất phát từ điểm chung chính là tổng.
Chung gốc → dựng hình bình hành → đường chéo

🔄 Vectơ đối

  • Vectơ đối của \(\vec{a}\) kí hiệu \(-\vec{a}\).
  • Cùng độ dài, ngược hướng.
  • \(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\).
  • Ví dụ: \(-\vec{AB}=\vec{BA}\).

➖ Hiệu hai vectơ

  • \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\).
  • Quy tắc hiệu với ba điểm: \(\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}\).
  • Cách làm: đổi trừ thành cộng với vectơ đối.
Trừ = cộng với vectơ đối

🧮 Tính chất phép cộng

  • Giao hoán: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\).
  • Kết hợp: \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).
  • Vectơ-không: \(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\).

📝 Công thức cần nhớ

  • \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)
  • \(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\) (hbh)
  • \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)
  • \(\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}\)
  • \(\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{0}\)
  • \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{0}\)
📖 Trích từ chuyên đề Bài 9: Tích của một vectơ với một số

📌 Định nghĩa

  • Với số thực k và vectơ \vec{a}, k\vec{a} là một vectơ.
  • k>0: cùng hướng với \vec{a}.
  • k<0: ngược hướng với \vec{a}.
  • k=0: \(0\vec{a} = \vec{0}\).
  • Độ dài: \(|k\vec{a}| = |k|\,|\vec{a}|\).
+ → cùng hướng | − → ngược hướng | |k| → độ dài

⚙️ Tính chất

  • Phân phối với tổng vectơ: \(k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a}+k\vec{b}\)
  • Phân phối với tổng số: \((k+h)\vec{a} = k\vec{a}+h\vec{a}\)
  • Kết hợp: \(k(h\vec{a}) = (kh)\vec{a}\)
  • Nhân với 1: \(1\vec{a} = \vec{a}\)
  • Nhân với 0: \(0\vec{a} = \vec{0}\)

🔄 Cùng phương

  • Hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho \(\vec{b} = k\vec{a}\).
  • Ba điểm thẳng hàng: \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với k ≠ 0.
  • Vectơ đối: \((-1)\vec{a} = -\vec{a}\).

📐 Hệ thức đặc biệt

  • Trung điểm M của AB: \(\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\)
  • Trung điểm: \(\vec{AM} = \frac12\vec{AB}\)
  • Trọng tâm G của tam giác ABC: \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\)
  • Phân tích vectơ: Biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương.

🧮 Rút gọn biểu thức

  • \(2\vec{a}+3\vec{a} = 5\vec{a}\)
  • \(3\vec{a}-5\vec{a} = -2\vec{a}\)
  • \(2(\vec{a}+\vec{b}) = 2\vec{a}+2\vec{b}\)
  • \(2\vec{AB}+2\vec{BC} = 2\vec{AC}\)

⚠️ Các lỗi thường gặp

  • Quên giá trị tuyệt đối: \(|-3\vec{a}| = 3|\vec{a}|\)
  • Hệ số âm vẫn cho cùng hướng: -2\vec{a} ngược hướng
  • Nhầm độ dài với vectơ: \(|2\vec{a}|\) là số, \(2\vec{a}\) là vectơ.
  • Nghĩ cùng phương là cùng hướng.
📖 Trích từ chuyên đề Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

📌 Hệ trục tọa độ Oxy

  • Hai trục Ox (hoành) và Oy (tung) vuông góc tại O.
  • Vectơ đơn vị: \(\vec{i}\) trên Ox, \(\vec{j}\) trên Oy, \(|\vec{i}|=|\vec{j}|=1\).
  • Mỗi vectơ \(\vec{u}\) biểu diễn duy nhất: \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\) → tọa độ \((x; y)\).

📐 Tọa độ vectơ và điểm

  • Vectơ: \(\vec{a} = (x; y)\).
  • Điểm: \(A(x_A; y_A)\), \(\overrightarrow{OA} = (x_A; y_A)\).
  • \(\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A)\) (Cuối – Đầu).

➕ Phép toán tọa độ

  • Tổng: \(\vec{a}+\vec{b} = (x_1+x_2; y_1+y_2)\)
  • Hiệu: \(\vec{a}-\vec{b} = (x_1-x_2; y_1-y_2)\)
  • Nhân số: \(k\vec{a} = (kx; ky)\)
  • Bằng nhau: \(x_1=x_2\) và \(y_1=y_2\)

📏 Độ dài và khoảng cách

  • Độ dài vectơ: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}\)
  • Khoảng cách AB: \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
  • Dựa trên định lý Pythagore.

🔄 Cùng phương – Thẳng hàng

  • Cùng phương: \(\vec{b} = k\vec{a}\) ⇔ \(x_1y_2 - x_2y_1 = 0\)
  • Ba điểm thẳng hàng: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương.

📝 Điểm đặc biệt

  • Trung điểm M của AB: \(x_M = (x_A+x_B)/2\), \(y_M = (y_A+y_B)/2\)
  • Trọng tâm G của tam giác ABC: \(x_G = (x_A+x_B+x_C)/3\), \(y_G = (y_A+y_B+y_C)/3\)
📖 Trích từ chuyên đề Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

📌 Góc giữa hai vectơ

  • Góc \((\vec{a},\vec{b})\) nằm trong khoảng \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\).
  • Cùng hướng: \(\alpha = 0^\circ\).
  • Vuông góc: \(\alpha = 90^\circ\).
  • Ngược hướng: \(\alpha = 180^\circ\).

📌 Tích vô hướng

  • Định nghĩa: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha\).
  • Kết quả là một số thực, không phải vectơ.
  • \(\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2\) (bình phương vô hướng).

📌 Dấu của tích vô hướng

  • \(\alpha < 90^\circ\): \(\vec{a}\cdot\vec{b} > 0\) (góc nhọn).
  • \(\alpha = 90^\circ\): \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\) (vuông góc).
  • \(\alpha > 90^\circ\): \(\vec{a}\cdot\vec{b} < 0\) (góc tù).

📌 Tọa độ

  • \(\vec{a}=(x_1;y_1), \vec{b}=(x_2;y_2)\):
  • \(\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)
  • \(\vec{a}\perp\vec{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0\)

📌 Tính chất

  • Giao hoán: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}\)
  • Phân phối: \(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}\)
  • Nhân số: \((k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})\)

📌 Góc và độ dài

  • \(|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
  • \(\cos\alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)
  • \(\alpha = \arccos(\cos\alpha)\)

Trắc nghiệm tổng hợp Chương 4: Vectơ

150 câu gộp từ các chuyên đề của chương — lọc theo bài hoặc mức độ, xem đáp án và giải thích ngay sau mỗi câu. Không tính điểm gửi lên hệ thống, làm lại thoải mái.

🔓 20 câu đầu dùng miễn phí. 🔒 Còn 130 câu dành cho tài khoản VIP.
Nâng cấp VIP để mở toàn bộ 150 câu.
Bài:
Mức độ:

🗺️ Bức tranh toàn cảnh Chương 4: Vectơ

Tổng kết lại cả chương trong một hình — bấm vào ảnh để xem bản đầy đủ, rõ nét.

Sơ đồ tổng quan Chương 4: Vectơ — Toán 10 🔍 Bấm để xem full